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動的モデル(定積分)

定積分

関数\(f(x)\)\([a, b]\)間の任意の\(x\)について,\(|f(x)| < M\)を満たす定数\(M\)が存在するとき,\(f(x)\)\([a, b]\)で有界である.

\([a, b]\)で有界な関数\(f(x)\)について\([a, b]\)\(n\)個の小区間に分割する.この分割を\[Δ: a = x_0 < x_1 < … < x_n = b\]とする.

\(Δ\)に対して,各小区間の幅を\[Δx_k = x_k - x_{k - 1} (K = 1, 2. … n)\]とし,\[|Δ| = \max_{1 <= K <= n} Δx_k\]小区間の幅の最大値を分割の幅とよぶ.

各小区間\([x_{k-1}, x_k]\)から任意の点\(c_k\)をとり,次の和を考える.

\[s(Δ) = \sum_{k = 1}^n f(c_k)Δx_k = f(c_1)Δx_1 + f(c_2)Δx_2 + … + f(c_n)Δx_n\]

この\(s(Δ)\)分割\(Δ\)(および\(c_k)\)に関するリーマン和とよぶ.

リーマン和は,\(Δ\)\(c_k\)のとり方によって変わる.

定理(定積分)

\(f(x)\)\([a, b]\)で有界かつ連続であれば,\(s(Δ)\)\(|Δ| → 0\)のときに\(Δ\)\(c_k\)のとり方に関らず極限値を持つ.

\(\lim_{|Δ| → 0} s(Δ)\)\(f(x)\)\([a, b]\)における定積分とよび,\[\int_a^b f(x) dx\]と表す.

\(a > b\)に対して,\[\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx\]と定義する.

\[\int_a^a f(x) dx = 0\]と定義する.

定理(定積分)

\(F(x)\)\(f(x)\)の任意の原始関数とすると\[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\]が成り立つ.

\[[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\]

定理(定積分の性質)

\(f(x), g(x)\)\([a, b]\)で有界かつ連続であれば

  1. \(\int_a^b f(x) ± g(x) dx = \int_a^b f(x) dx ± \int_a^b g(x) dx\)
  2. \(\int_a^b cf(x) dx = c\int_a^b f(x) dx\)(\(c\)は定数)
  3. \(\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx (a < b < c)\)

\[\int_0^π \sin x dx = [-\cos x]_0^π = -(-1-1) = 2\]

定理(定積分の部分積分法)

\(f(x), g(x)\)\([a, b]\)で有界かつ連続で微分可能な関数とする,$f'(x), g'(x)が共に連続であるとき,\[\int_a^b f(x)g'(x) dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x) dx\]

定理(定積分の置換積分法)

\(f(x)\)\([a b]\)で有界かつ連続な関数とし,\(x = φ(t)\)\([α, β]\)で微分可能な関数とする.\(a = φ(α), b = φ(β)\)のとき,\[\int_a^b f(x) dx = \int_α^β f(φ(t))φ'(t) dt\]が成り立つ.

\(\int_0^1 (2x - 1)^n dx\)を求める(\(n\)は自然数)

\(2x - 1 = t\)とおき,両辺を\(t\)で微分すると,\(2\frac{dx}{dt} = 1\)より,\(\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}\).また,\(x = 0\)のとき,\(t = -1\),\(x = 1\)のとき\(t = 1\)であるから

\[\int_0^1 (2x - 1)^n dx = \int_{-1}^1 t^n\frac{1}{2} dt = \frac{1}{2}\int_{-1}^1 t^n dt = \frac{1}{2}[\frac{t^{n + 1}}{n + 1}]_{-1}^1 = \frac{1}{2(n + 1)}(1 - (-1)^{n + 1})\]

\(n\)が偶数のとき\[\int_0^1 (2x - 1)^n dx = \frac{1}{n + 1}\]\(n\)が奇数のとき\[\int_0^1 (2x - 1)^n dx = 0\]