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動的モデル(置換積分法)

中間試験が持ち込みありの場合難しくなるという話があり,暗記力が無いので持ち込みはあった方が出来るのかな…という思いと,高度な数学の問題を解けるかわからないという思いがあり,持ち込みありかなしかの投票に手を挙げられませんでした.

「中間試験の点数が悪かったらその先の授業についていくのは絶望的になる」という絶望的な宣言がなされました.

「中間試験にε-δ論法は出ますか?」「出ないとは言えない,でも出すとしても初歩的なもの」

置換積分法

合成関数\(y = f(x), x = φ(t) (x = φ(t)は微分可能)\)について,

\[\int f(x) dx = \int f(φ(t))φ'(t) dt\]が成り立つ.

証明

\(F(x)\)\(f(x)\)の原始関数とすると,\(F(x) + C = \int f(x) dx\)

\(x = φ(t)\)\(F(x)\)に代入して,\(t\)で微分すると,\[\frac{d}{dt}F(φ(t))\\ = \frac{dF(x)}{dx} * \frac{dx}{dt}\\ = f(x)φ'(t)\\ = f(φ(t))φ'(t)\]

この両辺を積分すると,\[\int f(φ(t))φ'(t) dt\\ = F(φ(t)) + C\\ = F(x) + C\\ = \int f(x) dx\]

例1

\(x(x^2 + 1)^α (x ≠ 0)\)の不定積分を求める.

\(x^2 + 1 = t\)とおき,両辺を\(t\)で微分すると,\(2x * \frac{dx}{dt} = 1\),よって,\(\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2x}\)

よって,置換積分法より\(\int x(x^2 + 1)^α dx= \int xt^α * \frac{1}{2x} dt = \frac{1}{2}\int t^α dt\)

\(α ≠ -1\)のとき,\(\frac{1}{2}\int t^α dt = \frac{1}{2(α + 1)}t^{α + 1} + C\)

\(α = -1\)のとき,\(\frac{1}{2}\int t^α dt = \frac{1}{2}\log |t| + C\)

よって,\(\frac{1}{2(α + 1)}(x^2 + 1)^{α + 1} + C (α ≠ -1)\)\(\frac{1}{2}\log (x^2 + 1) + C (α = -1)\)

例2

\(\cos^2 x \sin x\)の不定積分を求める.\(\sin x = -(\cos x)'\)より\(\cos x = t\)とおくと,

\(\int \cos^2 x \sin x dx\\ = -\int \cos^2 x (\cos x)' dx\\ = -\int t^2 dt\\ = -\frac{1}{3}t^3 + C\\ = -\frac{1}{3}\cos^3 x + C\)

演習課題

30分も演習課題をやる時間があったのにもかかわらず完了させることが出来ませんでした.

授業が何もわからなくて,聞きに行く時間はたっぷりあったので何度も先生に聞きに行ったのですが「復習をして」という言葉が繰り返されるあたり私の基礎的な数学知識がダメすぎることがわかります.

粘り強く「合成関数の微分はわかっているはずだけどここでどうやって使われるのかが全くわからない」のようなことを繰り返し言った結果,最終的に例1の単純な項書換えがわからなくて躓いていることがわかりました.数式の変数は何が束縛されているのか曖昧なコンテキストによって変わるので把握できないことがよくあります.

何故私はこんなにも数学ができないのでしょうか.自分が嫌になってきます.

みんな提出したのに私1人だけ持ち帰りになりました…このクラスで一番できていないことがわかったので単位を取るのは無理そうですね.