動的モデル演習課題 導関数の定義と色々な導関数

他の皆さんは授業中に演習課題を楽々出してましたが,私は当然後から多大な時間を使って提出します.

\(y = x^3\)について,\(x = a\)における微分係数を定義にしたがって求めよ

\(\begin{aligned} & \lim_{Δx →0} \frac{(a + Δx)^3 - a^3}{Δx}\\ &= \lim_{Δx → 0} \frac{a^3 + 3aΔx^2 + 3a^2Δx + Δx^3 - a^3}{Δx}\\ &= \lim_{Δx → 0} \frac{3aΔx^2 + 3a^2Δx + Δx^3}{Δx}\\ &= \lim_{Δx → 0} 3aΔx + 3a^2 + Δx^2\\ &= 3a^2 \end{aligned}\)

\((f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\)が成り立つことを導関数の定義にしたがって証明せよ

左辺\((f(x) + g(x))'\)は導関数の定義により\(\lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx) + g(x + Δx) - f(x) + g(x)}{Δx}\)であり,右辺\(f'(x) + g'(x)\)は導関数の定義により\(\lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx} + \lim_{Δx → 0} \frac{g(x + Δx) - g(x)}{Δx}\)になります.

\(\begin{aligned} & \lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx) + g(x + Δx) - f(x) + g(x)}{Δx}\\ &= \lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx} + \lim_{Δx → 0} \frac{g(x + Δx) - g(x)}{Δx}\\ \end{aligned}\)

が成り立ち,左辺と右辺が同じになることがわかるので,\((f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\)が成り立つことが証明できました.

次の関数を微分せよ

途中結果を記述すること.

\(y = \tan^2 x\)

\(\begin{aligned} & (\tan^2 x)'\\ &= ((\tan x)^2)' \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} & u = \tan x\\ & y = u^2 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} & u' = \frac{1}{\cos^2 x}\\ & y' = 2u \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} & ((\tan x)^2)'\\ &= 2(\tan x) \frac{1}{\cos^2 x} \end{aligned}\)

\(y = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 1}\)

\(\begin{aligned} & \sqrt{x^4 - 3x^2 + 1}'\\ &= ((x^4 - 3x^2 + 1)^{\frac{1}{2}})'\\ &= \frac{1}{2}(\sqrt{x^4 - 3x^2 + 1})^{\frac{-1}{2}} (4x^3 - 6x)\\ &= \frac{4x^3 - 6x}{2\sqrt{x^4 - 3x^2 + 1}} \end{aligned}\)