原始関数

与えられた関数 $f(x)$ について, $f(x)$ を導関数とする関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数とよぶ. すなわち, $F'(x) = f(x)$

$f(x)$ から原始関数 $F(x)$ を求めることを積分するという. また, $f(x)$ は $F(x)$ の被積分関数とよばれる.

$F(x)$ が $f(x)$ の原始関数であるとき, 任意の定数 $C$ について, $F(x) + C$ は $f(x)$ の原始関数である.

不定積分

関数 $f(x)$ の原始関数全体を $f(x)$ の不定積分とよび, $\int f(x) dx$ と表す.

$y = x^2$ の原始関数は $\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C (Cは積分定数)$

$f(x)$ を微分可能で $f(x) ≠ 0$ とし, $y = \log |f(x)|$ とおく, ここで, $y = \log |f(x)|$ とおく.

ここで, $y = \log |u|, u = f(x)$ として, 合成関数の導関数の公式を用いれば, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$

よって, $\frac{d}{dx}(\log |f(x)|) = \frac{f'(x)}{f(x)}$

両辺を入れ替え, 積分すると $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| + C$

ここで, $f(x) = \cos x$ とすると, $\tan x$ の定義域で $f(x) ≠ 0$

よって, $$\int \tan x dx\\ = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx\\ = -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx\\ = -\log |\cos x| + C$$

微分可能な関数 $f(x)$ と $g(x)$ について, $$\int f(x)g'(x) dx\\ = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$$ が成り立つ.

積の微分法の公式より $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

これを変形し, $f(x)g'(x) = (f(x)g(x))' - f'(x)g(x)$ この式の両辺を積分すると, 与式が得られる.

$x \cos x$ の積分を考える. $f(x) = x, g'(x) = \cos x$ とおく.

$f'(x) = 1, g(x) = \sin x$

よって部分積分法より,

$$\int x \cos x dx\\ = \int f(x)g'(x) dx\\ = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx\\ = x \sin x - \int \sin x dx\\ = x \sin x + \cos x + C$$

なんと今回は授業中に演習問題を提出することができました. 今回の演習問題は難易度が低かったみたいですね.