動的モデル 原始関数,不定積分,部分積分法

原始関数

与えられた関数\(f(x)\)について,\(f(x)\)を導関数とする関数\(F(x)\)\(f(x)\)の原始関数とよぶ.すなわち,\[F'(x) = f(x)\]

\(f(x)\)から原始関数\(F(x)\)を求めることを積分するという.また,\(f(x)\)\(F(x)\)の被積分関数とよばれる.

\(F(x)\)\(f(x)\)の原始関数であるとき,任意の定数\(C\)について,\(F(x) + C\)\(f(x)\)の原始関数である.

不定積分

関数\(f(x)\)の原始関数全体を\(f(x)\)の不定積分とよび,\(\int f(x) dx\)と表す.

\(y = x^2\)の原始関数は\[\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C (Cは積分定数)\]

積分の基本公式

  1. \(\int (f(x) ± g(x)) dx\\ = \int f(x) dx ± \int g(x) dx\)
  2. \(\int kf(x) dx = k\int f(x) dx\)

基本関数の積分

  1. \(\int x^α dx = \frac{x{α + 1}}{α + 1} + C (α ≠ -1)\)
  2. \(\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C\)
  3. \(\int e^x dx = e^x + C\)
  4. \(\int a^x = \frac{a^x}{\log a} + C (a > 0)\)
  5. \(\int \log x dx = x\log x - x + C\)
  6. \(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
  7. \(\int \cos x dx = \sin x + C\)
  8. \(\int \tan x dx = -log |\cos x| + C\)

8の証明

\(f(x)\)を微分可能で\(f(x) ≠ 0\)とし,\(y = \log |f(x)|\)とおく,ここで,\(y = \log |f(x)|\)とおく.

ここで,\(y = \log |u|, u = f(x)\)として,合成関数の導関数の公式を用いれば,\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\)

よって,\(\frac{d}{dx}(\log |f(x)|) = \frac{f'(x)}{f(x)}\)

両辺を入れ替え,積分すると\(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| + C\)

ここで,\(f(x) = \cos x\)とすると,\(\tan x\)の定義域で\(f(x) ≠ 0\)

よって,\[\int \tan x dx\\ = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx\\ = -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx\\ = -\log |\cos x| + C\]

部分積分法

微分可能な関数\(f(x)\)\(g(x)\)について,\[\int f(x)g'(x) dx\\ = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx\]が成り立つ.

証明

積の微分法の公式より\[(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\]

これを変形し,\[f(x)g'(x) = (f(x)g(x))' - f'(x)g(x)\]この式の両辺を積分すると,与式が得られる.

\(x \cos x\)の積分を考える.\[f(x) = x, g'(x) = \cos x\]とおく.

\[f'(x) = 1, g(x) = \sin x\]

よって部分積分法より,

\[\int x \cos x dx\\ = \int f(x)g'(x) dx\\ = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx\\ = x \sin x - \int \sin x dx\\ = x \sin x + \cos x + C\]

演習問題

なんと今回は授業中に演習問題を提出することができました.今回の演習問題は難易度が低かったみたいですね.