動的モデル 2階道関数・逆関数の導関数

2階導関数

関数\(y = f(x)\)の導関数\(y' = f'(x)\)について,\(f'(x)\)が微分可能であったとする.このとき,\(f(x)\)は2階微分可能微分可能である.

また,\(f'(x)\)の導関数を\(f(x)\)の2階導関数と呼び,\(f''(x)\)で表す.

すなわち,\(f''(x) = \lim_{Δx → 0} \frac{f'(x + Δx) - f'(x)}{Δx}\)

例:

\(y = \sin x\)の導関数は\(y' = \cos x\)

\(y = \sin x\)の2階導関数は\(y'' = -\sin x\)

n階導関数

同様に,\(f(x)\)がn階微分可能であるとき\(f(x)\)のn階導関数が定義される.\(f'''(x) = f^{(3)}(x)\)

逆関数

\(y = \sin x\)の導関数は\(y' = \cos x\)\(y = \sin x\)の2階導関数は\(y'' = -\sin x\)

関数\(y = f(x)\)が1価関数であるとき,\(f(x)\)の逆関数とは,\(x = g(y)\)を満たす関数である.一般に,独立変数を\(x\),従属変数を\(y\)で表すため,\(y = f^{-1}(x)\)と表記する.

\(\sin^2 x\)\((\sin x)^2\)だけど\(\sin^{-1} x\)は逆関数の表記だから\((\sin x)^{-1}\)にはならないという話.「\(-1\)の場合だけ意味が変わるのですか?」と質問したら,その通りのようです.ややこしい,初めから\(\sin^2 x\)みたいな表記は使わずに,累乗は累乗の表記に統一して欲しい.もしくは\(\arcsin\)を使えば良さそう.

\(y = f(x)\)が1価関数: 任意の\(a, b\)について,\(a ≠ b\)ならば,\(f(a) ≠ f(b)\)が成り立つ関数.

\(y = x\)は1価関数.\(y = x^2\)\(f(1) = f(-1)\)のため1価関数ではない.

「1価関数であるというのは単射であるというのと同じ意味ですか?」と質問しました,一緒だそうです.写像の話をしているか定かではないので1価関数という名前を使ったそうです.単射は知っていたけれど,1価関数という言葉は初めて聞いた気がします.

逆関数の導関数

関数\(f(x)\)の逆関数を\(f^{-1}(x)\)とする.このとき,\(f'(y) ≠ 0\)ならば\(y = f^{-1}(x)\)は微分可能であり,\(\frac{d}{dx}(f^{-1}(x)) = \frac{1}{f'(y)}\)または\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{1}{df}{dy}}\)が成り立つ.

証明.\(x = f(x)\)の両辺を\(x\)で微分すると,左辺は\(1\),右辺は合成関数微分を用いて\(\frac{df}{dy} * \frac{dy}{dx}\)したがって,\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{df}{dy}}\)

三角関数の逆関数の導関数

  1. \((\sin^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} (-1 < x < 1)\)
  2. \((\cos^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} (-1 < x < 1)\)
  3. \((\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1 + x^2} (-∞ < x < ∞)\)

2の証明

\(y = \cos^{-1} x\)\(x = \cos y (0 <= y <= π)\)の逆関数である.

したがって,\((\cos^{-1} x)' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{df}{dy}} = \frac{1}{-\sin y}\)

\(0 < y < π\)\(\sin y > 0\)である.

\(\sin^2 y + \cos^2 y = 1\)より,\(-\sin y = -\sqrt{1 - x^2}\)

よって,\((\cos^{-1} x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} (-1 < x < 1)\)

「途中で\(y\)の範囲が狭まっているのが意味が解らないんですが」という質問をしました.ずっとなんか互いにズレているような会話があり,「これがわからないのではあれば講義についていくのは難しい」といういつものコメントが入り,「逆関数の範囲と導関数が存在する範囲は異なる」という回答でわかった気になりました.

演習課題

\(e × -3\)って書いたら×に-が続くのはおかしいということで\(e × (-3)\)に直すことになりました.数式のルールがわからない…

1の証明がうまく行かない,2の証明をちゃんと理解していないからだろうか…