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動的モデルの初回授業のε-δ論法がわからず早くも躓いています

動的モデルの初回授業

講義動的モデルの初回授業を受けます.

数学が致命的に出来ないのに何故履修登録してしまったんだ… この講義を履修する時はそのことに気がついてなかったから仕方がないんだけど.

1講義単位落としても卒業できるように専門科目限定の履修追加をしましたが, 追加した講義が同じく数学である計算理論なので, 両方を落として留年する可能性が出てきました.

先生も数3の知識が無いとこの講義は厳しいと言っていて死ぬ気配しか無い. 私は数3をやっていない…

参考書として以下の3つが指定されました.

  1. 徹底攻略 常微分方程式
  2. やさしく学べる微分方程式
  3. 自然現象から学ぶ微分方程式

あくまで参考書だから無くても単位は取れないことはないとか言ってましたがそんなのは私には無理.

2のやさしく学べる微分方程式の方が簡単らしいけど, 演習問題は1の徹底攻略 常微分方程式から出るらしいので, 1のamazonページを見たら在庫3つになっていたので買いました.

しかし, この先生の同じ講義である幾何学概論を教科書をちゃんと買って, なおかつテストの点数が悪くて私は落としました. なので, 参考書をいくら読んでも学習障害や単に頭が悪いなどの理由で取れない可能性が十分あるんですよね.

これを落とすと後がないので真面目にやりますが, 幾何学概論だって不真面目にやっていたわけではないので, 真面目にやっても落としそうです.

数弱すぎて単位状況がかなり厳しいことになっていることに気がつきました.

先生に｢数3やってなくても取れますか｣と聞いてみたら｢かなり不利｣と答えられて厳しい…

あまりに絶望感を感じたのでとりあえず講義を他に2つ追加することにしました.

関数

ある集合SSの各元に実数を丁度1つ割り当てる対応規則ffを関数とよぶ.

各x∈sx ∈ sに対してffが割り当てる実数をf(x)f(x)と表す.

また, SSをffの定義域とよび, 集合f(x)|x∈S{f(x) | x ∈ S}を値域とよぶ.

関数y=f(x)y = f(x)において, xxを独立変数, yyを従属変数とよぶ.

方程式

1つ以上の変数を含む等式を方程式とよぶ. 方程式を解くとは, その等式を満たす変数を求めることである.

微分方程式

微分を含む方程式を微分方程式とよぶ.

例

y′=3xy' = 3x

両辺を積分すると

y=∫3xdx=32x2+Cy = ∫3xdx = \frac{3}{2}x^2 + C(CCは積分定数)

ε-δ論法

プリントが配布されたのでノートなし.

極限という概念がまず分かっていないので厳しさがある.

aaとααを区別しづらいフォントで併用しないで欲しい.

何言ってるのかさっぱりわからない.

何故2|x−3|<2|x−3|2|x - 3| < 2|x - 3|が成り立つのかわからない, 質問しにいこう. δ=2|x−3|δ = 2|x - 3|ではなくて2|x−3|<δ2|x - 3| < δだった, 見間違えてた…

単なる勘違いでその下の説明全部理解を通りすぎてしまった…

ダメだ, ε-δ論法の意味が分からない, この講義ダメかもしれない. 履修中止するか…

レポート課題

ε-δ論法を使って次を示せ.

以下の回答は私のノートであり, 正答を示すものではありません.

limx→23x−7=−1\lim_{x → 2} 3x - 7 = -1

任意のε>0ε > 0に対して, 0<|x−2|<δ0 < |x - 2| < δを満たすすべてのxxに対して|(3x−7)+1|<ε|(3x - 7) + 1| < εが成り立つようなδ>0δ > 0を求めればよい.

|(3x−7)+1|=|3x−6|=3|x−2|<3δ|(3x - 7) + 1| = |3x - 6| = 3|x - 2| < 3δ

なので, ε>=3δε >= 3δ(すなわちδ<=ε3δ <= \frac{ε}{3})

ε>0ε > 0を任意にとる.

δ=ε3δ = \frac{ε}{3}とおくと, δ>0δ > 0を満たす.

0<|x−2|<δ0 < |x - 2| < δを満たすすべてのx∈Rx ∈ Rに対して,

|(3x−7)+1|=|3x−6|=3|x−2|<3δ=3*ε3=ε \begin{aligned} |(3x - 7) + 1|\\ = |3x - 6|\\ = 3|x - 2| < 3δ\\ = 3*\frac{ε}{3}\\ = ε \end{aligned}

が成り立つ.

よってlimx→32x−5=1\lim_{x → 3} 2x - 5 = 1が成り立つ.

limx→32x2+1=19\lim_{x → 3} 2x^2 + 1 = 19

任意のε>0ε > 0に対して, 0<|x−3|<δ0 < |x - 3| < δを満たすすべてのxxに対して|(2x2+1)−19|<ε|(2x^2 + 1) - 19| < εが成り立つようなδ>0δ > 0を求めればよい.

|(2x2+1)−19=|2x2−18|=|2(x2−9)=|2(x+3)(x−3)|=2|(x+3)(x−3)|=2*|x+3|*|x−3|=2*|(x−3)+6|*|x−3|<=2*|x−3|*(|x−3|+6)<2δ(δ+6)=2δ2+12δ \begin{aligned} |(2x^2 + 1) - 19\\ = |2x^2 - 18|\\ = |2(x^2 - 9)\\ = |2(x + 3)(x - 3)|\\ = 2|(x + 3)(x - 3)|\\ = 2 * |x + 3| * |x - 3|\\ = 2 * |(x - 3) + 6| * |x - 3|\\ <= 2 * |x - 3| * (|x - 3| + 6)\\ < 2δ(δ + 6)\\ = 2δ^2 + 12δ \end{aligned}

ここでδ<=1δ <= 1ならば2δ2+12δ<=14δ2δ^2 + 12δ <= 14δが成り立つ. したがってε>=14δε >= 14δかつδ<=1δ <= 1となるようにδを定める.

e>0e > 0を任意にとる δ=min1,ε14δ = \min{1, \frac{ε}{14}}とおくと, δ>0δ > 0を満たす. 0<|x−3|<δ0 < |x - 3| < δを満たすすべてのx∈Rx ∈ Rに対して,

|(2x2+1)−19|=|2x2−18|=|2(x2−9)|=|2(x+3)(x−3)|=2|(x+3)(x−3)|=2*|x+3|*|x−3|=2*|(x−3)+6|*|x−3|<=2*|x−3|*(|x−3|+6)<2δ(δ+6)=2δ2+12δ<=14δ(∵δ<=1)<=14*ε14=ε \begin{aligned} |(2x^2 + 1) - 19|\\ = |2x^2 - 18|\\ = |2(x^2 - 9)|\\ = |2(x + 3)(x - 3)|\\ = 2|(x + 3)(x - 3)|\\ = 2 * |x + 3| * |x - 3|\\ = 2 * |(x - 3) + 6| * |x - 3|\\ <= 2 * |x - 3| * (|x - 3| + 6)\\ < 2δ(δ + 6)\\ = 2δ^2 + 12δ\\ <= 14δ(∵δ <= 1)\\ <= 14 * \frac{ε}{14}\\ = ε \end{aligned}

が成り立つ.

よってlimx→32x2+1=19\lim_{x → 3} 2x^2 + 1 = 19が成り立つ.

limx→1x3=1\lim_{x → 1} x^3 = 1

e>0e > 0を任意にとる δ=min1,ε7δ = \min{1, \frac{ε}{7}}とおくと, δ>0δ > 0を満たす. 0<|x−1|<δ0 < |x - 1| < δを満たすすべてのx∈Rx ∈ Rに対して,

|x3−1|=|x−1|*|x2+x+1|=|x−1|*|x2+x+1|=|x−1|*|(x−1)2+3x|=|x−1|*|(x−1)2+3(x−1)+3|<=δ*(δ2+3δ+3)=δ3+3δ2+3δ<=7δ(∵δ<=1)<=7*ε7=ε \begin{aligned} |x^3 - 1|\\ = |x - 1| * |x^2 + x + 1|\\ = |x - 1| * |x^2 + x + 1|\\ = |x - 1| * |(x - 1)^2 + 3x|\\ = |x - 1| * |(x - 1)^2 + 3(x - 1) + 3|\\ <= δ * (δ^2 + 3δ + 3)\\ = δ^3 + 3δ^2 + 3δ\\ <= 7δ(∵δ <= 1)\\ <= 7 * \frac{ε}{7} = ε \end{aligned}

が成り立つ.

よってlimx→1x3=1\lim_{x → 1} x^3 = 1が成り立つ.